无穷小的比较与求函数图形渐近线的基本思路与步骤总结与实例

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1、无穷小的比较

定义设f(x)和g(x)均为某个变量变化过程x→x^*的无穷小，g(x)≠0，则

(1)如果limf(x)/g(x)=0，则称f(x)是比g(x)高阶的无穷小（或高阶无穷小），记作f(x)=o(g(x))( x→x^*)；习惯地，将一个无穷小量记作o(1)；

(2)如果limf(x)/g(x)=∞，则称f(x)是比g(x)低阶的无穷小；

(3)如果limf(x)/g(x)=A≠0，则称f(x)与g(x)是同阶无穷小；

(4) 如果limf(x)/g(x)=1，则称f(x)与g(x)是等价无穷小，并且记作f(x)~g(x)；等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形.

(5)如果limf(x)/g^k(x)=A≠0(k>0)，则称f(x)是关于g(x)的k阶无穷小；

2、等价无穷小性质及计算极限应用

定理1：f(x)与g(x)是等价无穷小的充分必要条件是

f(x)=g(x)+o(g(x)).

定理2：如果f₁(x)~ f₂(x)与g₁(x)~ g₂(x)且lim(f₂(x)/ g₂(x))的极限存在，则lim(f₁(x)/ g₁(x))极限也存在，并且有

lim(f₁(x)/ g₁(x))=lim(f₂(x)/g₂(x)).

【注1】两个无穷小之比求极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替。由于f₁(x)~ f₁(x)，g₁(x)~ g₁(x)，所以以上极限计算等式也可以只替换分子、或者只替换分母来求极限。

【注2】以上结论也适用于极限趋于无穷大的情形；

【注3】以上用等价无穷小替换计算极限的过程一般适用于相乘、相除因式整体用等价无穷小替换；对于等价无穷小加减运算，一般两个等价无穷小相减不要替换；非等价无穷小相减，或等价无穷小相加一般可以替换。具体参见课件实例。

【注4】记住常用的几个等价无穷小(8个，见课件列表)

3、求一元函数y=f(x)描述的曲线的渐近线的基本思路与步骤：

(1) 求出函数的定义域，并明确所有的定义区间的有限边界点x_k；

(2) 分别判定并计算x趋于正无穷大、趋于负无穷大函数f(x)的极限，判定是否具有水平渐近线；如果极限存在，则水平渐近线方程为y=极限值；水平渐近线的条数可以为0，1，2。

(3) 对所有定义区间的边界点求或判定左右极限的存在性，如果对于边界点x_k左右极限有一个趋于无穷大，或正、负无穷大，则该边界点对应的方程x=x_k即为铅直渐近线，铅直渐近线的条数可以为0，1，2，…，无数条。

(4) 分别求或判定x趋于正无穷大、趋于负无穷大函数f(x)/x的极限，如果其中极限值存在且不为零，则有对应的斜渐近线，并针对求得的极限值k，求斜渐近线的截距b，即有

求相应变量变化过程的极限

则对应的斜渐近线方程为y=kx+b。斜渐近线的条数可以为0，1，2。

参考课件节选：

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